В последнее десятилетие теория массопереноса во фрактальных средах привлекает как практический, так и теоретический интерес. Этот интерес обусловлен геофизическими и экспериментальными данными, демонстрирующими нелинейность пористых сред, включая их блочную структуру и фрактальные свойства. В таких средах процесс фильтрации даже для однородных смесей моделируется дифференциальными уравнениями нецелого порядка, что затрудняет теоретические исследования. В данной работе построено решение нестационарного уравнения диффузии дробного порядка, описывающего плоскорадиальное движение однофазных жидкостей во фрактальных пористых средах. Для решения редуцированной спектральной задачи для производной функции преобразования Лапласа выведено интегральное уравнение Вольтерры второго рода с регулярным ядром. Для этого интегрального уравнения методом последовательной подстановки получена резольвента в виде быстро сходящегося ряда. Найдено необходимое условие сходимости ряда и получено аналитическое выражение для производной функции преобразования Лапласа искомой функции давления. Интегрируя полученное аналитическое выражение для преобразования Лапласа по пространственной переменной, находим интегральное представление. Наконец, применяя обратное преобразование Лапласа, получаем выражение для динамического распределения искомой функции давления. Полученное выражение, во-первых, позволяет исследовать задачу нестационарного течения жидкости в радиальной среде фрактальной природы, а во-вторых, также отвечает на вопрос о существовании и единственности рассматриваемой задачи. Используя методы численного интегрирования, можно вычислить значения функции давления в любой точке r и в любой момент времени t с оценкой погрешности. Кроме того, полученные результаты позволяют оценить найденное решение приближенными методами.

Ключевые слова: массоперенос во фрактальных средах, нестационарное уравнение диффузии в плоскорадиальной области, преобразование Лапласа, интегральное уравнение Вольтерра второго рода с регулярным ядром, метод последовательной подстановки

ЛИТЕРАТУРА

Aliyev NA, Rasulov MA, Jalalov GI, Huseynova FM (2023) Study of the problem of straight-line flow of homogeneous fluids in fractal environments. In: Materials of the Republican scientific conference “Problems and prospects of oil and gas fields exploration”, Baku, 5-6 December 2023, p 72–77 (in Azerbaijani)

Afonin AA, Sukhinov AI (2009) Mathematical models of geofiltration and geomigration in porous media with a fractal structure. Izvestiya SFedU, Technical sciences 97(8):62–70 (in Russian)

Barabanov VL (2016) Fractal model of the initial stage of capillary impregnation of rock. Georesources, Geoenergy, Geopolitics 1(13):1–15. https://doi.org/10.29222/ipng.2078-5712.2016-13.art5 (in Russian)

Belevtsov NS, Lukashchuk SYu (2020) Study of fractional-differential model of single-phase filtration with Riesz potential. Multiphase systems 1–2:14. https://doi.org/10.21662/mfs2020.1 (in Russian)

Gazizov RK, Lukashchuk SYu (2017) Fractional-differential approach to modelling filtration in complex inhomogeneous porous media. Bulletin of UTAMU 21(4):104–112 (in Russian)  

Kilbas AA, Srivastava HM, Trujillo JJ (2006) Theory and applications of fractional differential equations. Elsevier, North-Holland

Miller KS, Ross B (1993) An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations. John Wiley and Sons, New York, p 366

Mirzadzhanzade AKh, Khasanov MM, Bakhtizin RN (2002) Modeling of oil and gas production processes. Nonlinearity, nonequilibrium, uncertainty. Institute of Computer Research, Moscow–Izhevsk, p 368 (in Russian)

Nigmatullin RR (1986) The realization of the generalized transfer equation in a medium with fractal geometry. Phys. Stat. SolCfcD 133:425–430

Oldham KB, Spanier J (1974) The fractional calculus. Academic Press, New York, p 234

Podlubny I (1999) Fractional differential equations. Academic Press, San Diego

Samko SG, Kilbas AA, Marichev OI (1993) Fractional integrals and derivatives: Theory and applications. Gordon and Breach Science Publishers, Switzerland, p 976

Suleimanov BA, Abbasov EM, Efendieva AO (2005) Stationary filtration in a fractally inhomogeneous porous medium. Engineering Physics Journal 78(4):194–196 (in Russian)